A. Une idée simple mais efficace de Gerwien : la construction de parallèles.

1. La  ST – équidécomposabilité est simple à mettre en évidence pour un nombre quelconque de triangles ayant tous même sommet et des bases égales et accolées sur une droite (figure 8, avec 3 triangles : ABC , ACD , ADE ).

Par chaque sommet de la base, sauf les sommets extrêmes, traçons une parallèle à chacun des côtés issus de A, soit ici, trois parallèles par chacun des points C, D (figure 9)

Ces parallèles déterminent avec les côtés des trois triangles d’autres triangles ou polygones . On montre facilement que

Réinitialisez la figure en cliquant sur le bouton en haut à droite de la figure

complétez la figure en passant avec la souris sur les éléments du texte en bleu.

1) s’ils ont un sommet commun situé sur l’un des côtés des triangles initiaux, ce sommet est centre de symétrie (ex. abCd et a’d’Ad sont symétriques par rapport à d)

2) s’ils n’ont aucun sommet commun sur ces côtés (sauf ceux des bases) ils se correspondent dans une translation (ex. ebc et a'd'D par la translation de vecteur BC).

Nous appellerons procédé n° 1 ce type de décomposition.

On obtient finalement le découpage suivant (fig 11)

2. Le même usage des parallèles est opératoire pour deux triangles de même aire ayant une base commune et leur sommets de part et d’autre de cette base commune (figure 12) :

Soient ABC et DBC les deux triangles

E l’intersection de la droite joignant les sommets A et D avec la base commune.

Dans le triangle ABC menons par E les parallèles (EF) et (EG) aux côtés du triangle DBC;

dans le triangle DBC menons par E les parallèles (EM) et (EN) aux côtés du triangle ABC.

complétez la figure en passant avec la souris sur les éléments du texte en bleu

Soit U le milieu de [BE] et V celui de [EC].

Alors les triangles ayant un côté sur une base se correspondent dans une symétrie centrale (de centre U ou V),.

Ceux qui n’ont qu’un sommet sur la base se correspondent dans une translation (de vecteur ou , ou leurs opposés).

Nous appellerons procédé n° 2 ce type de décomposition.