Cas des rectangles

Revenons aux figures rectilignes, en l’occurrence le rectangle de la figure suivante :

En partant d’un sommet, on considère la ligne polygonale formée des segments successifs inclinés à 45° sur les côtés du rectangle. A quelles conditions la ligne polygonale se referme-t-elle au point de départ ? (Cela fait penser au billard, qui peut aussi donner des idées de problème de fermeture).

figure 12 (survolez pour pause / animation )

Problème 6

Démontrer que si les côtés sont mesurés par des entiers a et b premiers entre eux, la ligne polygonale se ferme au bout de 2(a + b -1) segments.

Dans la figure 12 on a un rectangle 9x19 et la figure se referme au bout du 54ème segment. Mais en réalité il n’y a que 27 segments effectifs, chacun étant parcouru deux fois, la ligne polygonale arrivant au sommet opposé à celui du départ au bout du 27ème segment.

figure 13 (survolez pour pause / animation )

Problème 7

Démontrer de même qu’il y a fermeture en général au bout de 2(a + b) segments si l’on prend comme point de départ n’importe quel point sur les côtés du rectangle, comme dans la figure 13 correspondant à un rectangle de côtés 5x7.

Le résultat peut changer cependant, si la distance du point de départ à un sommet du rectangle est elle même entière.

Si, au lieu de directions à 45° on prend des directions mesurées par la tangente de l’angle avec les côtés du rectangle, la situation est plus difficile à étudier. Elle est cependant abordable si les côtés du rectangle sont mesurés par des entiers (ou rapports d’entiers) et si la tangente de l’angle d’inclinaison des segments formant la ligne polygonale est rationnelle.

Problème 8

Démontrer que dans un rectangle 5x8 et des directions inclinées sur le petit côté selon un angle dont la tangente vaut 2/3  la ligne polygonale se ferme au bout du 34ème segment, quel que soit le point de départ sur les côtés du rectangle, sauf pour les départs en l’un des sommets du rectangle. (Figure 14 ci-dessous).Dans ce dernier cas la ligne se ferme en revenant au point de départ au bout du 32ème segment.(Mais elle n’est constituée que de 16 segments différents, chacun étant parcouru deux fois).