Les problèmes de Steiner et de Poncelet

Parmi les problèmes de fermeture, il en est des célèbres, tels le problème de Steiner, ou le problème de Poncelet, dont la démonstration dépasse très largement le niveau du lycée. Nous les mentionnons seulement parce qu’il sont à l’origine de ce petit article et pour leur exceptionnelle beauté et généralité.

Figure 15

Un exemple de configuration de Steiner

Deux cercles étant donnés, l’un intérieur à l’autre, on construit la suite de cercles tangents entre eux et tangents aux deux cercles donnés.

A quelle condition sur les rayons des cercles donnés et la distance de leurs centres existe-t-il une suite de cercles se fermant au bout d’un nombre fini de cercles (le premier cercle étant tangent au dernier) ?

Un théorème de Steiner affirme que, si une telle configuration est réalisée avec n cercles tangents aux deux cercles donnés, la fermeture se produira également au bout de n cercles en commençant avec n’importe quelle position du premier cercle

Deux coniques quelconques étant données, à partir d’un point de l’une on trace une tangente à l’autre. Cette tangente  recoupe la première conique en un point à partir de laquelle on construit la seconde  tangente à la seconde conique, etc.

A quelle condition sur les coniques cette ligne polygonale se referme t-elle au bout d’un nombre fini de tangentes ?

Un théorème de Poncelet affirme alors que si elle se referme au bout de n tangentes à partir d’un point défini de la première conique, elle se refermera au bout du même nombre n de tangentes à partir de n’importe quel point de départ de la première conique.

Figure 16

Un exemple de configuration de Poncelet

Un cas particulier de problème de Poncelet est celui de deux cercles concentriques, déjà évoqué au début de cette article.