B. Deux rectangles sont toujours T – équidécomposables.

L’équidécomposabilité translative est plus contraignante que l’équidécomposabilité générale selon le groupe de toutes les isométries car elle doit également prendre en compte la position relative des polygones considérés dans le plan.

Figure 24

1. Prenons par exemple d’abord deux rectangles dont les côtés sont parallèles. Dans ce cas une décomposition translative est relativement simple à mettre en place.

Mais il n’est peut-être pas inutile de rappeler comment construire deux rectangles dont certaines dimensions sont imposées.

Soit ABCD un premier rectangle donné et soit à construire un rectangle équivalent dont l’une des dimensions soit BE , que nous plaçons dans le prolongement de [AB] (figure 24).

Soit H l’intersection de (DC) avec la perpendiculaire à (AB) en E et I l’intersection de (BH) avec (AD) .

Traçons la parallèle à (AB) par I , qui coupe (BC) en G et (EH) en F  ;

alors on démontrera facilement que BGFE est le rectangle cherché.

Plaçons les deux rectangles équivalents ABCD et AEFG de façon qu’ils aient un sommet commun A (et toujours les côtés parallèles , figure 25 ).

Alors (EC) et (BB') sont parallèles (pourquoi ?) et nous donnent la T – équicomposabilité des deux rectangles au moyen :

d'un pentagone

de deux triangles

( animation )

figure 25